Data

Copy and paste the text below. It is read-only. Select All

Es seien M und N beliebige Mengen. Es sind M und N gleich mächtig falls es eine bijektive Funktion f : M → N gibt. Es seien M und N beliebige Mengen. Es ist M höchstens so mächtig wie N falls es eine injektive Funktion f : M → N gibt. Es seien M und N beliebige Mengen. Es ist N echt mächtiger als M falls |M | ≤ |N | gilt und |M | = |N | nicht gilt (also ¬(|M | = |N |) gilt). 5.2.2 Satz: fundamentale Eigenschaften 1 Aus |M | = |N | und |N | = |P | folgt |M | = |P |, aus |M | ≤ |N | und |N | ≤ |P | folgt |M | ≤ |P | und aus |M | < |N | und |N | < |P | folgt |M | < |P |. 5.2.2 Satz: fundamentale Eigenschaften 2 Es sind |M | = |N | und |N | = |M | logisch äquivalent. 5.2.2 Satz: fundamentale Eigenschaften 3 Sind |M | = |N | und |N | ≤ |P | wahr, so ist auch |M | ≤ |P | wahr. 5.2.2 Satz: fundamentale Eigenschaften 4 Es gelten |M | = |M | und |M | ≤ |M | und ¬(|M | < |M |). 5.2.4 Satz (G. Cantor) Für alle Mengen M gilt |M | < |P(M )|. 5.2.5 Satz: (E. Schröder und F. Bernstein) Es seien M und N beliebige Mengen. Dann gelten die folgenden zwei Aussagen: (1) Gibt es eine bijektive Funktion f : M → N , so gibt es eine injektive Funktion g1 : M → N und eine injektive Funktion g2 : N → M. (2) Gibt es injektive Funktionen g1 : M → N und g2 : N → M , so gibt es eine bijektive Funktion f : M → N .