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Stochastik

STUDY
PLAY
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
0=<P(A)=<1
Ereignisraum / sicheres Ereignis
P(Omega)=1
Gegenereignis
1-P(A)
Disjunkte Ereignisse
P(AuB) = P(A)+ P(B)
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit zweier nicht disjunkter Ereignisse
Abziehen der Schnittmenge:

P(AuB) = P(A) + P(B) - P(A^B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(B|A): Wahrscheinlichkeit von B gegeben A
Multiplikationsregel
Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig von einander dann das Verbundgesetz
Disjunkt
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus
Disjunkt aber nicht unabhängig
Beispiel P(Mädchen) = 1-P(junge) nicht unabhänig!
P(Mädchen ^ Junge) = 0 Disjunkt!
Stochastisch Unabhängig
Bei ... gilt:
P(Blond ^ Junge) = P(Blond) * P(Junge)

Und: P(Blond|Junge) = P(Blond)
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
BEdingte Wahrscheinlichkeiten bekannt P(A^B) sowie P(A^-B)
=> Totale Wahrscheinlichkeit von A

P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|-B)P(-B)
Baye's Theorem
-Korrekter Schluß auf bedingte Wahrscheinlichkeiten
Beispiel: Kenne P(A|B) Alarm wenn Bombe

P(B|A) = (P(A|B)*P(B)) / P(A)
Verallgemeinerung von Baye's mit totaler Wahrscheinlichkeit
Totale Wahrscheinlichkeit: P(A)= € P(A|Bi) * P(Bi)
Baye: P(B|A) = [P(A|B) P(B)] / € [P(A|Bi) * P(Bi)]
Permutation
Reihenfolge BAA; ABA; AAB usw.
Kombination
Auswahl AAB; ACB
Reihenfolge mit Zurücklegen
n^k
Reihenfolge egal mit Zurücklegen
n+k-1 über k
Reihenfolge ohne Zurücklegen
n! / (n-k)!
Reiehnfolge Egal ohne Zurücklegen
n über K
Binomialkoeffizient
Wähle 2 aus 5 Eissorten 5 über 2
Binomialverteilung
x~B(n,p)
P(k Erfolge in n Durchgängen) = NüberK p^k * (1-p)^(n-k)
Poisson-Verteilung
x~Po(Lambda)
Sehr seltene Ereignisse
Nur abhängig von Lambda = Erwartete Ereignisse pro Einheit
Lambda = E(x)
Lambda = Var(X)

Wichtig: Drei oder mehr ereignisse P(x>2) = 1-P(x=<2)
somit muss man nicht unendlich viele Wahrscheinlichkeiten addieren !
Erwartungswert von Zufallsvariablen
Wert mal Wahrscheinlichkeit dieses Wertes
= Artithmetisches Mittel bei Noten!

E(X) = €[ Xi * P(X=Xi) ]
Bsp: Würfel: E(X) = 1 1/6 + 2 * 1/6 + 3* 1/6 ...
Varianz von Zufallsvariablen
Var(X)=E[(x-E(x))²] Erwartugnswert der Abweichungen

Var(X) €[ (Xi-E(x))² * P(X=Xi) ]

Einfacher: Var(x) = E(x²) - [E(x)]²
Co(X,Y)
offen
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