De 19 satserna och definitionerna att kunna till analys i en variabel tentan

Ett tal m sägs vara en övre begränsning av en mängd A om x <= m för varje x ∈ A. En mängd som har en övre begränsning kallas uppåt begränsad, annars uppåt obegränsad. (Def 2.3)

Click the card to flip 👆

1 / 22

Terms in this set (22)

Ett tal m sägs vara en övre begränsning av en mängd A om x <= m för varje x ∈ A. En mängd som har en övre begränsning kallas uppåt begränsad, annars uppåt obegränsad. (Def 2.3)

Övre/undre begränsning och uppåt/nedåt begränsad, Def

Ett tal m sägs vara supremum av en mängd A och betecknas sup A om m är den minsta övre begränsningen av A. (Def 2.4)

Supremum/infimum, Def

Vi säger att en reellvärd funktion f, där Df ⊂ R, är väx- ande på en mängd M ⊂ Df om det för varje x,y∈M för vilka x<y ger att f(x) <= f(y). Om en funktion är växande på hela sin definitionsmängd kallas f växande. (Def 3.15)

Växande, Def

En talföljd (a(n)) (från n=1 till ∞) sägs konvergera mot gränsvärdet A om det för alla ε>0 finns ett N sådant att |a(n)−A|<ε för varje n>N. Vi inför beteckningen

(lim n --> ∞) a(n) --> A

En talföljd med denna egenskap kallas konvergent, annars kallas talföljden divergent. (Def 4.3)

Konvergens och oegentliga gränsvärde av talföljder, Def

Låt f vara en funktion definierad i (a,∞) för något a. Vi säger att f konvergerar mot gränsvärdet A då x går mot ∞ om det för varje ε>0 finns ett N sådant att |f(x)−A|<ε för varje x>N. Vi skriver detta

lim(x→∞) f(x) = A.

Alternativt skriver vi att f(x) → A då x → ∞. Om inget sådant A existerar kallas f divergent då x går mot ∞. (Def 5.1)

Konvergens och oegentliga gränsvärde av funktioner vid oändligheten, Def

Låt f vara en reellvärd funktion, med Df ⊂ R, sådan att varje punkterad omgivning till x = a innehåller punkter i Df. Vi säger att f konvergerar mot A då x går mot a om det för varje ε > 0 finns ett δ sådant att |f(x)−A| < ε för varje x ∈ Df som uppfyller att 0 < |x−a| < δ. Vi skriver detta

lim(x-->a) f(x) = A.

eller f(x) → A, då x → a. (Def 6.1)

Konvergens och oegentliga gränsvärde för lokala gränsvärde, Def

Låt f vara en reellvärd funktion, med Df ⊂ R, sådan att varje punkterad omgivning till x = a innehåller punkter från Df och a ∈ Df . Vi säger att f är kontinuerlig i a om

lim(x-->a) f(x) = f(a).

(Def 7.1)

Kontinuitet, Def

Låt f vara en funktion definierad i en omgivning av x(0). Vi säger att f är deriverbar i punkten x(0) om

f′(x(0)) = lim(h-->0) (f(x(0) + h) − f(x(0))) / h

existerar. Värdet f′(x(0)) kallas derivatan av f i punkten x(0). Om f är deriverbar i varje punkt i sin definitionsmängd så kallas f deriverbar och funktionen f′ med definitionsmängden Df′ = Df kallas för derivatan av f. (Def 8.1)

Deriverbarhet och derivatan, Def

En funktion f sägs ha ett lokalt maximum i punkten x(0) ∈ Df om det finns en omgivning I till x(0) sådan att f(x) <= f(x(0)), för varje x ∈ I ∩ Df. (Def 8.22)

Lokala max- och minpunkter, Def

Låt f vara n gånger deriverbar. Polynomet

(summaformel, från k=0, till n) (f(^k)(a) * (x − a)^k) /k!

kallas Taylorpolynomet till f kring a av gradtal n. (Def 9.2)

Taylorpolynomet, Def

Låt f : [a, b] → R vara en begränsad funktion. Om sup L(f) = inf U(f) så sägs f vara integrerbar och integralen av f över [a, b] är integralen(från a till b) f(x) dx = sup L(f) = inf U(f). (Def 11.2)Integrerbarhet, DefLåt f vara en funktion som är integrerbar på [a,R], för varje R > a. Då definieras integralen integralen(från a till ∞) f(x)dx := lim(R --> ∞) integralen(från a till R) f(x)dx. Om detta gränsvärde existerar sägs integralen vara konvergent, i annat fall divergent. (Def 12.1)Integration över obegränsade intervall, DefLåt f : (a, b] → R vara en integrerbar funktion i intervallet [a + ε, b], för varje litet ε > 0. Vi definierar integralen(från a till b) f(x)dx = lim(ε→0) integralen(från a+ε till b) f(x)dx Om detta gränsvärde existerar sägs integralen vara konvergent, i annat fall divergent. Om integralen är konvergent sägs funktionen f vara integrerbar i intervallet (a, b]. (Def 13.1)Lokal integrerbarhet, DefLåt f : [a, b] → R vara en kontinuerlig funktion som är deriverbar på (a, b) och låt f (a) = f (b). Då existerar det en punkt p ∈ (a, b) sådan att f′(p) = 0. (Sats 8.26)Rolles sats, SatsLåt f : [a, b] → R vara en kontinuerlig funktion som är deriverbar på (a,b). Då existerar det en punkt p ∈ (a,b) sådan att f′(p)(b − a) = f(b) − f(a). (Sats 8.27)Medelvärdessatsen för derivator, SatsLåt f vara en n gånger deriverbar funktion definierad i en omgivning av a, sådan att f(^n) är kontinuerlig. Då följer att f(x) = summaformel(från 0 till n-1) ( (f(^k)(a) * (x-a)^k)/k! + (f(^n)(alfa) * (x-a)^n)/n! för något (alfa) mellan a och x (Sats 9.1)Taylorsformel kring godtycklig punkt, SatsLåt f vara kontinuerlig i [a, b]. Då finns det ett tal α ∈ (a, b) sådant att integralen(från a till b) f(x) dx = f (α)(b − a) (Sats 11.11)Medelvärdessatsen för integraler, SatsLåt f vara en kontinuerlig funktion på intervallet [a,b]. Då gäller att F(x) := integralen(från a till x) f(t) dt är en primitiv funktion till f i intervallet [a,b]. (Sats 11.14)Analysenshuvudsats, SatsLåt f vara kontinuerlig i [a,b] och låt F vara en primitiv funktion till f på [a,b]. Då gäller att integralen(från a till b) f(x) dx = F(b) − F(a). (Sats 11.15)Insättningsformeln, SatsVi säger att en reellvärd funktion f , där Df ⊂ R, är strängt växande på en mängd M ⊂ Df om det för varje x,y ∈ M för vilka x<y ger att f(x) < f(y). Om en funktion är strängt växande på hela sin definitionsmängd kallas f strängt växande. (Def 3.17)Strängt växande, defLåt f vara en funktion definierad i (a,∞) för något a. Vi säger att f har det oegentliga gränsvärdet ∞ då x går mot ∞ om det för varje M finns ett N sådant att f(x) > M för varje x > N. Vi skriver detta lim(x-->∞) f(x) = ∞. (Def 5.3)Oegentliga gränsvärde för funktionen är ∞, defLåt f vara en funktion sådan att varje punkterad omgivning till x = a innehåller punkter i Df . Vi säger att f har det oegentliga gränsvärdet ∞ då x går mot a om det för varje K finns ett δ sådant att f(x) > K för varje 0 < |x − a| < δ. Vi skriver detta lim f(x) = ∞. (Def 6.4)Oegentliga gränsvärde är ∞ för lokala gränsvärde, Def