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18 terms

Mengen

Mathematik für Informatiker
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Menge
Jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.
explizite Darstellung einer Menge
Man schreibt ihre Elemente durch Kommata getrennt in Form einer Liste auf
und setzt geschweifte Klammern „{" und „}". um die Menge. Jedes Element tritt in der Liste genau einmal auf.
Aussage
Ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist, zu sagen, es sei wahr
oder falsch. Ist sie wahr, so sagt man auch, dass sie gilt, ist sie falsch, so sagt man auch,
dass sie nicht gilt.
deskriptive Mengenbeschreibung
Es sei A(x) eine Aussage, in der die Variable (Platzhalter für Objekte) x vorkommen kann,
und für jedes Objekt a sei A(a) die Aussage, die aus A(x) entsteht, indem x durch a ersetzt
wird. Dann bezeichnet {x | A(x)} die Menge, welche genau die Objekte a enthält, für die
die Aussage A(a) wahr ist.
Enthaltenseinsrelation
Es sei M eine Menge und a ein Objekt. Wir schreiben
(1) a ∈ M , falls a zu M gehört, also ein Element von M ist.
(2) a ∉ M , falls a nicht zu M gehört, also kein Element von M ist.
N
bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen, also die Menge {0, 1, 2, . . .}. Man
beachte, dass in diesem Skriptum (wie fast immer in der Informatik-Literatur) die
Null per Definition in N enthalten ist.
Z
bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen, also die Menge {0, 1, −1, 2, −2, . . .}.
Q
bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen (der Bruchzahlen mit ganzzahligen
Zählern und Nennern), also, in deskriptiver Darstellung, die Menge
y
{x | es gibt y, z mit y ∈ Z und z ∈ Z und z != 0 und x =y/z }.
R
bezeichnet die Menge der reellen Zahlen.
deskriptive Darstellung mit Typisierung
Für alle Mengen M und alle Aussagen A(x), in denen x eine Variable ist, stellt die de-
skriptive Darstellung {x ∈ M | A(x)} eine Abkürzung für {x | x ∈ M und A(x)} dar.
Inklusion
M ⊆ N genau dann, wenn für alle Objekte a aus a ∈ M folgt a ∈ N (M heißt dann
eine Teilmenge von N
Gleichheit
M = N genau dann, wenn M ⊆ N und N ⊆ M gelten, also für alle Objekte a die
Aussage a ∈ M genau dann gilt, wenn a ∈ N gilt (M und N heißen dann gleich),
Ungleichheit
M ≠ N genau dann, wenn M = N nicht gilt (M und N heißen dann ungleich)
echte Inklusion
M ⊂ N genau dann, wenn M ⊆ N und M = N gelten (M heißt dann eine echte
Teilmenge von N
Reflexivität
Für alle Mengen M, N und P gilt:
M ⊆ M
Antisymmetrie
Für alle Mengen M, N und P gilt:
Aus M ⊆ N und N ⊆ M folgt M = N
Transitivität
Für alle Mengen M, N und P gilt:
Aus M ⊆ N und N ⊆ P folgt M ⊆ P
leere Menge
Sie ist diejenige Menge, die keine Element ent-
hält. Also gilt a ∉ ∅ für alle Objekte a