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Kardinalität von Mengen

Mathematik für Informatiker
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Es seien M und N beliebige Mengen.
Es sind M und N gleich mächtig
falls es eine bijektive Funktion f : M → N gibt.
Es seien M und N beliebige Mengen.
Es ist M höchstens so mächtig wie N
falls es eine injektive Funktion f : M → N gibt.
Es seien M und N beliebige Mengen.
Es ist N echt mächtiger als M
falls |M | ≤ |N | gilt und |M | = |N | nicht gilt (also
¬(|M | = |N |) gilt).
5.2.2 Satz: fundamentale Eigenschaften 1
Aus |M | = |N | und |N | = |P | folgt |M | = |P |, aus |M | ≤ |N | und |N | ≤ |P | folgt
|M | ≤ |P | und aus |M | < |N | und |N | < |P | folgt |M | < |P |.
5.2.2 Satz: fundamentale Eigenschaften 2
Es sind |M | = |N | und |N | = |M | logisch äquivalent.
5.2.2 Satz: fundamentale Eigenschaften 3
Sind |M | = |N | und |N | ≤ |P | wahr, so ist auch |M | ≤ |P | wahr.
5.2.2 Satz: fundamentale Eigenschaften 4
Es gelten |M | = |M | und |M | ≤ |M | und ¬(|M | < |M |).
5.2.4 Satz (G. Cantor)
Für alle Mengen M gilt |M | < |P(M )|.
5.2.5 Satz: (E. Schröder und F. Bernstein)
Es seien M und N beliebige Mengen. Dann gelten die folgenden zwei Aussagen:
(1) Gibt es eine bijektive Funktion f : M → N , so gibt es eine injektive Funktion
g1 : M → N und eine injektive Funktion g2 : N → M.
(2) Gibt es injektive Funktionen g1 : M → N und g2 : N → M , so gibt es eine bijektive
Funktion f : M → N .